数量遗传学的统计学基础

概率加法定律

不可能同时发生的互斥事件A与B在N次试验中各出现了nA与nB次，和事件（A+B）在试验中出现了（nA+nB）次，即：
P(A+B)=P(A)+P(B)
加法定律可以被推广到多个互斥事件。 例如，个体基因型AA和Aa是互斥的，那么随便一个个体的显性性状的概率P(显性)=P(AA)+P(Aa)

条件概率与概率乘法概率

那么A发生发生时B发生的概率成为条件概率，记为P（B|A）。 AB同时发生的概率记为P(AB)，那么：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
** P(B|A)=P(AB)/P(A) **
** P(A|B)=P(AB)/P(B) **
如果事件A与B相互独立，那么：P(AB)=P(A)P(B)

连续随机变量

对于随机变量X，若存在非负可积函数p(x) (-∞<x<+∞)，对于任意a和b (a＜b) ，都满足P(a<x<b)=int{a}{b}{p(x)dx}，那么称X为连续型随机变量， p(x) 称为随机变量X的分布密度，又称概率密度（probability density）。分布密度满足三个基本性质：

  1. 密度函数非负，遍历所有可能取值的必然时间概率为1，及P(x)>=0且int{-infty}{+infty}{p(x)dx}=1
  2. 谈论单个取值的概率是没有意义的，即P(x=a)=int{a}{a}{p(x)dx}=0
  3. 对于a<b:P(a<x<b)=P(a<=x<b)=P(a<x<=b)=P(a<=x<=b)

累计概率分布函数：F(x)=P(X<=x)=int{-infty}{x}{p(t)dt}
p(x) = F prime(x) = {dF(x)}/dx

期望(expectation)和方差(variance)是连续随机变量最重要的两个数字特征。期望即均值(mean)。对于多个随机变量来说，协方差(covariance)和相关系数(correlation coefficient)是最重要的数字特征。

期望 E_X = E(X) = int{-infty}{+infty}{xp(x)dx}
期望有如下性质：

  1. 对于任意常数c：E(c)=c，E(cX)=cE(X)
  2. 对于任意随机变量X和Y：E(X pm Y)=E(X) pm E(Y)
  3. 对于相互独立的两个随机变量X和Y：E(XY)=E(X)E(Y)

方差V_X = V(X) = E delim{[}{X - E(X)}{]}^2 = int{-infty}{+infty}{delim{[}{x - E(X)}{]}^2p(x)dx}

方差具有如下性质：

  1. V_X = E(X^2) - E^2(X)
  2. 对于任意常数c：V(c)=0
  3. 对于任意常数c：V(cX) = c^2V(X)
  4. 对于任意两个独立随机变量X和Y：V(X pm Y)=V(X) pm V(Y)

方差的平方根称为标准差，其取值与期望有相同的量纲，在参数的区间估计和统计假设检验中经常用到。 基于期望和方差，可以对一个随机变量作标准化变换, 即：X^* = {X-E(X)}/sqrt{V(X)}。标准化的随机变量X*的均值为0。标准化变换消除了不同随机变量在量纲上的差异，使得随机变量之间更具有可比性，在相关分析和多元统计中具有重要作用。

两个变量之间的协方差Cov_XY = Cov(X,Y) = E delim{lbrace}{delim{[}{X-E(X)}{]}delim{[}{Y-E(Y)}{]}}{rbrace} 协方差具有如下性质：

  1. Cov_XY = E(XY) - E(X)E(Y)
  2. V(X pm Y) = V(X) + V(Y) pm 2Cov(X,Y)
  3. 对于任意常数a和b：Cov(aX, bY) = abCov(X, Y)
  4. Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z) + Cov(Y, Z)

两个随机变量之间的相关性系数r_XY = Cor(X, Y)={Cov(X, Y)}/sqrt{V(X)V(Y)}
相关系数有如下性质

  1. 相关系数也没有方向性，取值在-1和1之间，描述X与Y之间线性关系的强弱。
  2. 当r=0时，称X与Y之间无线性相关，它们之间可能具有其它函数关系。
  3. 当r=1时，称X与Y完全正相关。当r=-1时，称X与Y完全负相关。当-1<r<1时，代表一定程度的线性关系。
  4. Cor(X, Y) = Cov(X*, Y*)。由于消除了方差的影响，标准变换后的协方差更能准确地反映相关关系。

正态分布

样本统计量

设X1, X2, …, Xn是总体X的一组简单随机样本，Y1, Y2, …, Yn是总体X的一组简单随机样本:
样本均值overline{X} = 1/{n}sum{i=1}{n}{X_i}

样本方差{S^2}_X = 1/{n-1}sum{i=1}{n}{(X_i - overline{X})^2}=1/{n-1}(sum{i=1}{n}{{X_i}^2 - n{overline{X}}^2})

COV_XY = 1/{n-1}sum{i=1}{n}{(X_i - overline{X})(Y_i - overline{Y})}=1/{n-1}(sum{i=1}{n}{{X_i}{Y_i} - n{overline{X}}{overline{Y}}})

样本相关系数：r_XY = {Cov(X, Y)}/{sqrt{S^2_X S^2_Y}}

V(overline{X})=1/{n^2}sum{i=1}{n}{V(X_i)}=1/{n}V_X

E({X_i}^2) = V(X) + E(X)^2

E(overline{X}^2) = {1}/{n}V(X) + E^2_X

E({S^2_X}) = V(X)

对于大多数的正态分布中体来说，n=30的样本均值就十分接近正态分布了，因此把超过30的样本称为大样本（large sample）


未完待续

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